Aritmatika Biner

SMK Negeri 2 Padang

Kelas/Semester          : X/I

Program Keahlian    : TKJ

Mata Pelajaran          : Sistem Komputer

Jumlah Pertemuan    :  4 kali pertemuan

Tujuan Pembelajaran: setelah mengikuti pembelajaran ini di harapkan siswa dapat:

Ø  Membuat Operasi arithmatik (penjumlahan, pengurangan, increment, decrement)

Ø  Membuat Perkalian dan pembagian bilangan biner

Ø  Membuat Operasi aritmatik (penjumlah dan pengurang) dalam BCD

Ø  Membuat perbandingan pemahaman tentang Half Adder, Full Adder, dan Ripple Carry Adder.

Ø  Mengeksplorasi operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan biner untuk 2 buah input data masing-masing 8 bit

Ø  Mengeksplorasi operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan Heksadesimal, increment, dan decrement

Ø  Melakukan percobaan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan biner pada Arithmatic Logic Unit     ( ALU )’

Ø  Melakukan operasi penjumlahan digital, meliputi sistem penjumlahan binner, system penjumlahan oktal, sistem penjumlahan desimal, sistem penjumlahan heksadesimal.

Ø  Mengetahui rangkaian dasar penjumlahan, yang terdiri dari half adder dan full adder.

2.4 Operasi Bilangan

Dalam sistem desimal telah dikenal dengan baik mengenai operasi dasar bilangan, yakni penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasioperasi bilangan tersebut juga dapat dikenakan pada sistem bilangan yang lain seperti dalam sistem -sistem bilangan biner, basis-5, octal, heksa-desimal, dan seterusnya. Tetapi pembahasan operasi kali ini lebih banyak pada sistem biner, sedangkan untuk sistem bilangan yang lain akan dikemukakan contoh hanya apabila dipandang perlu. Prinsip-prinsip penggunaan operasi bilangan itu sama dengan yang diterapkan pada sistem desimal . Oleh karena belum akrab dengan sistem bilangan selain desimal , maka untuk memudahkan pelaksanaan operasi hitung perlu pertolongan table operasi. Untuk sistem biner perhatikan table operasi berikut :

Tabel 2.2: Perkalian biner

Sebagaimana pada sistem desimal , bilangan biner dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagi. Dimulai dari operasi penjumlahan pada bilangan biner. Penjumlahan antara dua bilangan biner dikerjakan dengan cara yang sama seperti pada penjumlahan bilangan desimal , bahkan penjumlahan pada bilangan biner lebih sederhana, persoalannya adalah orang tidak terbiasa dengan sistem biner. Berdasarkan pada table penjumlahan untuk bilangan buner hanya

ada 4 (empat) hal yang dapat terjadi, yakni :

Ø  0 + 0 = 0

Ø  0 + 1 = 1 + 0 = 1

Ø   1 + 1 = 10 = 0 + simpanan (carry) 1 untuk posisi berikutnya, dan

Ø  1 + 1 + 1 = 11 = 1 + simpanan (carry) 1 untuk posisi berikutnya.

Hal yang ke empat terjadi dua bit pada posisi tertentu ialah 1 dan ada simpanan dari posisi sebelumnya.

Bilangan Biner Pecahan

Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin besar, dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil. Sehingga

0.110 = 10-1 = 1/10

0.1010 = 10-2- = 1/100

0.2 = 2 x 0.1 = 2 x 10-1, dan seterusnya.

Cara yang sama juga bisa digunakan untuk menyajikan bilangan biner pecahan. Sehingga,

0.12 = 2-1 = ½, dan

0.012 = 2-2- = ½2 = ¼

Sebagai contoh,

0.1112 = ½ + ¼ + 1/8

= 0.5 + 0.25 + 0.125

= 0.87510

101.1012 = 4 + 0 + 1+ ½ + 0 + 1/8

= 5 + 0.625

= 5.62510

Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara mengalihkan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai ketelitian yang diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan biner pecahan. Sebagai contoh, untuk mengubah 0.62510 menjadi bilangan biner dapat dilaksanakan dengan

0.625 x 2 = 1.25, bagian bulat = 1 (MSB), sisa = 0.25

0.25 x 2 = 0.5, bagian bulat = 0, sisa = 0.5

0.5 x 2 = 1.0, bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisaSehingga, 0.62510 = 0.1012

Berikut beberapa contoh penjumlahan dua bilangan biner :

Didalam mesin digital penjumlahan antara lebih dari dua bilangan biner pada saat yang sama tidak terjadi, karena rengkaian digital yang melaksanakan penjumlahan hanya dapat menangani dua bilangan pada saat yang bersamaan. Jika lebih dari dua bilangan yang ditambahkan, maka bilangan pertama dan ke dua dijumlahkan lebih adahulu dan hasil penjumlahan itu baru ditambahkan pada bilangan ke tiga, dan seterusnya. Penjumlahan biner merupakan operasi aritmetika yang paling penting dalam sistem digital, karena operasi-operasi pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dikerjakan dengan hanya dengan prinsip penjumlahan. Misalnya

pengurangan dapat dibentuk dari penjumlahan dengan bilangan negatif. Perkalian tidak lain merupakan penjumlahan yang berulang. Sedangkan pembagian adalah pengurangan yang berulang. Selanjutnya dikemukakan dahulu contoh operasi lain bilangan biner dengan cara aljabar.

Pengurangan:

Perkalian:

Pembagian:

Untuk pembanding, berikutnya dikemukakan operasi bilangan basis-5 dengan pertolongan table operasi berikut : Tabel 2.3 : Penjumlahan basis-5

Tabel 2.4: perkalian basis-5

Penjumlahan:

Pengurangan:

Perkalian:

Pembagian:

Aritmatika Biner

a) Penjumlahan Biner

Penjumlahan bilangan biner serupa dengan penjumlahan pada bilangan desimal. Dua bilangan yang akan dijumlahkan disusun secara vertikal dan digit-digit yang mempunyai signifikansi sama ditempatkan pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian dijumlahkan dan jika dijumlahkan lebih besar dari bilangan basisnya (10 untuk desimal, dan 2 untuk biner), maka ada bilangan yang disimpan. Bilangan yang disimpan ini kemudian dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, dan seterusnya. Dalam penjumlahan bilangan biner, penyimpanan akan terjadi jika jumlah dari dua digityang dijumlahkan adalah 2. Berikut adalah aturan dasar untuk penjumlahan pada sistem bilangan biner.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, simpan 1

Tabel 14. menunjukkan perbandingan antara penjumlahan pada sistem bilangan desimal dan system bilangan biner, yaitu 82310 + 23810 dan 110012 +

110112.

Tabel 15. Penjumlahan

a.       Penjumlahan decimal

2. Penjumlahan Biner

Marilah kita perhatikan penjumlahan biner dengan lebih seksama.

Kolom satuan : 1 + 1 = 0, simpan 1

Kolom 2-an : 0 + 1 = yang disimpan = 0, simpan 1

Kolom 4-an : 0 + 0 yang disimpan = 1

Kolom 8-an : 1 + 1 = 0, simpan 1

Kolom 16-an : 1 + 1 yang disimpan = 1, simpan 1

Kolom 32-an : yang disimpan 1 = 1

Jika lebih dari dua buah digit biner dijumlahkan, ada kemungkinan yang disimpan lebih besar dari 1. Sebagai contoh,

1 + 1 = 0, simpan 1

1 + 1 + 1 = 1, simpan 1

Contoh berikut menunjukkan penjumlahan dengan penyimpanan lebih besar dari 1.

1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1) = (0, simpan 1) + (0, simpan 1) = 0, simpan 2;

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + (1 + 1) + (1 + 1) = 1, simpan 2

0 + yang disimpan 2 = 1, simpan 1

1 + yang disimpan 2 = 0, simpan 2, dan seterusnya.

b) Pengurangan Biner

Pada bagian ini hanya akan ditinjau pengurangan bilangan biner yang memberikan hasil positif. Dalam hal ini, metode yang digunakan adalah sama dengan metode yang digunakan untuk pengurangan pada bilangan desimal. Dalam pengurangan bilangan biner jika perlu dipinjam 1 dari kolom di sebelah kirinya, yaitu kolom yang mempunyai derajat lebih tinggi. Aturan umum untuk pengurangan pada bilanagan biner adalah sebagai berikut :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1, pinjam 1

Contoh : Kurangilah 11112 dengan 01012

PenyelesaianSusunlah dua bilangan di atas ke dalam kolom sebagai berikut :

Secara lebih rinci, dimulai dari LSB (20 = 1)

Kolom 20 1 – 1 = 0

Kolom 21 1 – 0 = 1

Kolom 22 1 – 0 = 0

Kolom 23 1 – 0 = 1

Sehingga, 11112 – 01012 = 10102

Contoh Kurangilah 11002 dengan 10102

Penyelesaian

Secara lebih terinci, dimulai dari LSB (20 = 1)

Kolom 20 0 – 0 = 0

Kolom 21 0 – 1 = 1

Dalam kasus ini kita harus meminjam 1 dari bit pada kolom 22. Karena datang dari kolom 22, maka nilainya 2 kali nilai pada kolom 21. Sehingga, 1 (bernilai 22) – 1 (bernilai 21) = 1 (bernilai 21).

Bila meminjam 1 dari kolom di sebelah kiri maka berlaku aturan umum 1 – 1 = 1.  Kolom 22 0 – 0 = 0 Nilai 1 dari kolom 2 diubah menjadi nol karena sudah dipinjam seperti yang ditunjukkan dengan anak panah.

Kolom 23 1 – 1 = 0

Sehingga, 11002 – 10102 = 00102

c) Bilangan Biner Bertanda

Sejauh ini kita hanya melihat bilangan biner positif atau bilangan biner tak bertanda. Sebagai contoh bilangan biner 8-bit dapat mempunyai nilai antara:0000 00002 = 0010 dan 1111 11112 = 25510, yang semuanya bermilai positif, tanda ‘-‘ diletakkan di sebelah kiri bilangan desimal, misalnya –2510. Dalam sistem bilangan biner, tanda bilangan (yaitu negatif) juga disandikan dengan cara tertentu yang mudah dikenal dengan sistem digital. Untuk menyatakan bilangan negative pada bilangan biner, bit yang dikenal dengan bit tanda bilangan (sign bit) ditambah di sebelah kiri MSB. Bilangan biner yang ditulis dengan cara di atas menunjukkan tanda dan besarnya bilangan. Jika bit tanda ditulis 0, maka bilangan tersebut positif, dan jika ditulis 1, bilangan tersebut adalah bilangan negatif. Pada bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit, bit yang paling kiri menunjukkkan besarnya. Perhatikan contoh berikut :

1000 0000 = -0 = 0

0000 0000 = +0 = 0

Dari contoh diatas dapat dilihat, bahwa hanya karena tujuh bit yang menunjukkan besarnya , maka bilangan terkecil dan terbesar yang ditunjukan bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit adalah : [1]111 11112 = - 12710 dan [0]111 11112 = + 12710

Dengan bit dalam kurung menunjukkan bit tanda bilangan. Secara umum, bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n – 1. Sementara itu, untuk bilangan bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n-1 – 1. Sehingga,

untuk register 8-bit di dalam mikroprosesor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai terbesar yang bisa disimpan dalam register tersebut adalah:

M = 2(n-1) – 1

= 2(8-1) – 1

= 27 - 1

= 12810 – 1

= 12710

sehingga mempunyai jangkauan – 12710 sampai +12710.

d) Perkalian

Perkalian pada bilangan biner mempunyai aturan sebagai berikut :

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti perkalian bilangan desimal. Sebagai contoh, untuk mengalikan 11102 = 1410 dengan 11012 = 1310 langkah-langkah yang harus ditempuh adalah :

Perkalian juga bisa dilakukan dengan menambah bilangan yang dikalikan ke bilangan itu sendiri sebanyak bilangan pengali. Contoh di atas, hasil yang sama akan diperoleh dengan menambahkan 1112 ke bilangan itu senidiri sebanyak 11012 atau tiga belas kali.

e) Pembagian

Pembagian pada sistem bilangan biner dapat dilakukan sama seperti contoh pembagian pada system bilangan desimal. Sebagai contoh, untuk membagi 110011 (disebut bilangan yang dibagi) dengan 1001 (disebut pembagi), langkah-langkah berikut perlu dilakukan.

Sehingga hasilnya adalah 1012, dan sisa pembagian adalah 1102. Pembagian bisa juga dilakukan dengan cara menjumlahkan secara berulang kali bilangan pembagi dengan bilangan itu sendiri sampai jumlahnya sama dengan bilangan yang dibagi atau setelah sisa pembagian yang diperoleh lebih kecil dari bilangan pembagi.